本书源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加州大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义，自第1版出版以来一直深受读者喜爱。原书分为两卷，中译本将其合并出版。
　　全书从分析的源头——数系的结构和集合论开始，然后引向分析基础，再进入幂级数、多元微分学和傅里叶分析，最后介绍勒贝格积分，几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景，结合了严格性和直观性。另外，课程材料和习题配合无间，便于读者学习。
　　第3版对之前的版本进行了修订，接受了前两版读者的一些修正意见，并增加了部分习题。

　　本书主要介绍了数学分析中的内容，以构造数系和集合论开篇，逐渐深入到级数、函数等高等数学内容，举例详实，每部分内容后的习题与正文内容密切相关，有利于读者掌握所学的内容。本书在附录部分还介绍了数理逻辑基础和十进制，突出了严格性和基础性。

　　陶哲轩 1975年出生，享誉世界的澳籍华裔天才数学家，智商超过220，被誉为“数学界的莫扎特”。12岁获得国际数学奥林匹克竞赛金牌（这项纪录至今无人打破），2006年获得数学界的诺贝尔奖——菲尔兹奖，2007年当选英国皇家学会会士。曾与本。格林合作解决了2300年前由欧几里得提出的与“孪生质数”相关的猜想，在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、算术数论等多个重要数学研究领域都取得了杰出成果。陶哲轩15岁时所著的Solving Mathematical Problems是一本数学解题思路科普书，中文版《陶哲轩教你学数学》已经由人民邮电出版社出版。
　　李馨 毕业于北京理工大学数学与统计学院，具有多年高等数学、线性代数及概率论授课经验。

感谢
第1版前言
第2版和第3版前言
第一部分
第1章
第2章 从头开始：自然数
第3章 集合论
第4章 整数和有理数
第5章 实数
第6章 序列的极限
第7章 级数
第8章 无限集
第9章 R上的连续函数
第10章 函数的微分
第11章 黎曼积分
第二部分
第12章 度量空间
第13章 度量空间上的连续
第14章 一致收敛
第15章 幂级数
第16章 傅里叶级数
第17章 多元微分学
第18章 勒贝格测度
第19章 勒贝格积分
附录 A 数理逻辑基础
附录 B 十进制

　　第2版和第3版前言
　　本书第1版发行后，许多学生和老师与我联系，指出了书中一些拼写错误并提供了一些修正意见。另外，也有人提出了对本书精装版的需求。基于上述原因，出版商和我决定对第1版进行修订并将第2版作为精装版发行。新版书的版面编排、页面编号以及索引都发生了变动。但是，第2版的章节和习题编号以及数学知识都与第1版相同，所以，基于家庭作业和学习的目的，本书第1版和第2版可以替换使用。
　　第3版对第2版做了一些修正，并且增加了部分新的习题，但是从本质上来说，与第2版内容相同。

　　1.1　什么是分析
　　本书将介绍高等实分析，这是关于实数、实数序列、实数级数以及实值函数的分析。虽然实分析与复分析、调和分析以及泛函分析是相关的，但与它们又是不同的。复分析是关于复数和复函数的分析；调和分析是关于调和函数（振动）的分析，比如正弦振动，并研究这些函数如何通过傅里叶变换构造其他函数；泛函分析研究的内容主要集中在函数上（以及这些函数如何构造出如向量空间这样的东西）。分析学是对这些对象进行严格研究的学科，并且着力于对这些对象做出准确的定性和定量分析。实分析是微积分学的理论基础，而微积分是我们在处理函数时所用到的计算规则的集合。
　　在本书中，我们将对很多概念进行研究，而这些概念在学习初等微积分时会学到，比如：数字、序列、级数、极限、函数、定积分、导数等。虽然你曾经基于这些概念进行过大量的运算，但是现在我们主要研究这些概念的基本理论。我们关心如下几个问题。
　　（1）什么是实数？是否存在最大的实数？“0”之后的“下一个”实数是多少？（即：最小的正实数是几？）是否能够对一个实数进行无限次分割？为什么有些数（比如 2）有平方根，而有些数（比如-2）没有平方根？如果有无穷多个实数和无穷多个有理数，那么为什么会说实数比有理数的个数“多”？
　　（2）如何确定实数序列的极限值？什么样的序列存在极限，什么样的序列不存在极限？如果你能够阻止一个序列趋向无穷，这是否意味着该序列最终会停止变化并且收敛？把无穷多个实数相加后得到一个有限实数的情况是否存在？把无穷多个有理数相加后得到一个非有理数的情况是否存在？如果有无穷多个数相加，那么改变这些数的排列次序，所得到的和是否保持不变？
　　（3）什么是函数？函数是连续的、可微的、可积的、有界的分别是什么意思？能否将无限多个函数相加？对函数序列取极限会怎样？能否对无穷函数级数求微分？什么是求积分？如果一个函数 f(X) 满足：当 x=0 时，f(X) 的值为3 ；当 x=1 时，f(X) 的值为 5（即f(0)=3 且f(1)=5），那么 x 若取遍 0 到 1 之间的所有值，f(X)是否也取遍了3 到 5 之间的所有值？为什么？
　　如果你上过微积分课程，也许能够回答出上述问题中的几个。但是对于微积分这类课程来说，上述这类问题并不是最重要的。这类课程的重点在于教会学生如何计算，比如计算函数 x\sin(x^2) 从 x=0 到 x=1上的积分。既然现在你对这些概念已经非常熟悉了，而且知道如何进行运算，那么我们将回归到理论知识并且尝试真正去理解这些内容是如何展开的。