《算术基础》本身包含着许多深刻的哲学探讨，比如关于数的讨论、关于分析和综合的讨论、关于逻辑和心理学的区别的讨论。

汉译世界学术名著丛书出版说明
译者序
序
Ⅰ.一些著作家关于算术句子的性质的意见
数公式是可证明的吗？
算术规律是归纳的真命题吗？
算术定律是先验综合的还是分析的？
Ⅱ.一些著作家关于数概念的看法
数是外在事物的性质吗？
数是主观的东西吗？
作为集合的数
Ⅲ.关于单位和一的看法
“一”这个数词表达对象的一种性质吗？
单位是否彼此相等？
克服这个困难的尝试
困难的解决
Ⅳ.数这个概念
每个个别的数都是一个独立的对象
为了获得数这个概念，必须确定数相等的意义
对我们这个定义的补充和证明
无穷数
Ⅴ.结论
其它的数

　　对于这样的问题，甚至连大多数数学家大概也不会作出令人满意的回答。然而对于科学最切近的而且看上去是如此简单的对象竟如此不清楚，难道不令人羞愧吗？关于数是什么，人们能够说出的就更少了。如果为一门重要科学奠定基础的概念有了困难，那么更精确地研究这个概念和克服这些困难，确实就是不可推卸的任务。尤其是因为，只要对算术的整个大厦的基础的认识还有缺陷，也许就很难能够完全弄清楚负数、分数和复数。
　　许多人肯定会认为不值得为此花费气力。正像他们认为的那样，这个概念甚至在初级读本中就得到充分的讲述，因此一劳永逸地解决了。究竟谁还相信从这样简单的东西依然能够学到一些东西呢？人们认为正整数这个概念没有任何困难，以致对儿童也能够科学地详尽地讲述它，而且每个孩子不用进一步思考，也不用知道别人考虑过什么，就确切地知道它是怎么回事。这样就常常缺少学习的首要前提：对无知的认识。结果，人们仍旧满足于粗略的理解，尽管赫巴特（Herbart）就已经说过一种更准确的理解。令人痛心和沮丧的是，已经获得的认识总是面临着这样得而复失的危险，从而许许多多工作似乎变成徒劳的，因为人们误认为自己占有不少财富，因而不必再加上这些工作的成果。我清楚地看到，我的工作也蒙受这样的危险。当把计算称为聚合的机械的思维时，我就遇到了那种粗略的理解。我怀疑竟然有这样的思维。也许，人们可能更愿意承认聚合的表象；但是它对于计算没有意义。从本质上说，思维在哪里都是一样的：绝不能根据对象而考虑不同种类的思维规律。差别仅仅在于或多或少的纯粹性，以及对心理影响和思维外在的辅助手段，譬如语言、数字等等的或多或少的独立性，此外，大概还在于概念构造的精致性；但是，恰恰在这一点上，任何一门科学，即使是哲学，都不要企望会超过数学。
　　人们从本书将能够看出，甚至像从n到n+1这样一条表面上专属于数学的推理，也基于普遍的逻辑规律，而且不需要特殊的聚合思维的规律。当然，人们可以机械地使用数字，一如人们可以鹦鹉学舌式地说话；但是这几乎不能叫作思维。只有通过实际思维活动形成数学的符号语言，因而正像人们所说，这种语言为人们起思维作用时，才可能有思维。这并不证明，数是以一种特殊机械的方式形成的，比方说，就像沙堆是由细小的石英颗粒堆积的一样。我认为，驳斥这样的观点关系到数学家的利益，因为这种观点总是贬低数学这门科学的主要对象，从而贬低数学这门学科本身。但是即使在数学家的著作中，人们也发现十分类似的说法。与此相反，我们必须赋予数概念一种比其它学科中大多数概念更精致的构造，尽管它们是最简单的算术概念之一。
　　因此，为了驳斥那种空想：即关于正整数实际上根本不存在什么困难，而是有着普遍一致的看法，我认为评述一些哲学家和数学家对这里所考虑的问题的一些意见是有益的。人们将会看到，意见一致的情况极为罕见，出现的简直是相互对立的表达。例如，一些人说：“这些单位是彼此相等的”，另一些人则认为它们是不同的，而且双方这样说都有一些不容轻易反驳的理由。通过这些考察，我试图激发人们进行更严格的研究的欲望。同时，我将预先说明别人表达的看法，以此为我自己的观点铺平道路，从而使人们预先相信，沿着其它那些道路达不到目标，而我的意见与这里众多同样有理由的意见是不同的；而且我希望以此至少基本上最终解决了这个问题。
　　然而，我的论述也许因此变得更有哲学味道，似乎超出了许多数学家能够理解的范围；但是对数概念进行彻底的研究必然总是导致某种哲学的结果。这个任务是数学家和哲学家共同的任务。

　　1.数学在长时间背离了欧几里得的严格性之后，现在又回到这种严格性，并且甚至努力超越它。在算术中，也许由于许多处理方式和概念发源于印度，因而产生一种不如主要由希腊人发展形成的几何学中那样严谨的思维方式。更高的数学分析的发现仅仅促进了这种思维方式；因为一方面，严格地探讨这些学说遇到了极大的几乎不可克服的困难，另一方面，为克服这些困难付出的努力似乎没有什么价值。然而，后来的发展总是越来越清楚地说明，在数学中一种以多次成功的运用为依据的纯粹的道德信念是不够的。许多过去被看作是自明的东西，现在都需要证明。通过证明，在一些情况下才确定了有效性的限度。函数、连续性、极限、无穷这些概念表明需要更明确的规定。负数和无理数长期以来已为科学所接受，它们的合理性却必须得到更严格的证明。
　　因此到处可以看到人们努力进行严格的证明，准确地划定有效性的限度，并且为了能够做到这些，努力准确地把握概念。
　　§2.沿着这条道路，必然达到构成整个算术基础的数这个概念和适合于正整数的最简单的句子。当然，像5+7-12这样的数公式和像加法结合律这样的定律，通过每天对它们的无数次运用而得到许多次确认，因此由于想要进行证明而对它们表示怀疑，看上去简直是可笑的。但是数学的本质就在于，凡是可以进行证明的地方，就要使用证明而不用归纳来确证。欧几里得证明了许多在他看来大家本来就承认的东西。