★真正研究数学教育的沥血之作。斯坦福大学数学教授，潜心钻研数学教育模式，走访英美多所中学，追踪几千名学生的数学学习情况，深度挖掘数学教学的有效方法。
　　★深刻剖析传统数学教育模式的弊端。传统的教学模式扼杀了孩子的学习兴趣，将数学变成只需要记忆而不需要理解的学科。再加上毫无意义的测评体系，数学终将变成高高挂起的理论模型，与现实严重脱节。
　　★澄清关于数学的错误观念。多年以来，人们对数学有着错误的认知，如“数学就是一堆定理”“女孩子不擅长学数学”等等。作者对这些错误观念进行澄清，以免使原本极有数学天赋的人与数学擦肩而过。
　　★探讨数学更佳的教与学方式。作者花费上千个小时，通过旁听课程、走访、问卷调查等多种形式，来研究更好的提高学生数学能力的关键因素，探讨老师、学生、家长如何相互配合，让学生真正爱上数学。

　　你喜欢数学吗？
　　据统计，40%以上的人不喜欢数学，甚至对数学怀有深深的厌恶和恐惧。这种情感来源于传统的数学教学模式，即老师站在黑板前讲解数学定理及方法，学生则在下面将老师的板书抄下来，再做大量的习题来巩固。这种教学模式往往形成学生只要记住相关知识就能将其彻底掌握的假象，却掩盖了他们数学能力低下的事实。
　　如果学生能够以一种不同的方式去学习数学，那么他们将来很可能在数学领域取得成功。为了改变学生对数学的负面印象，不再把数学看成一堆稀奇古怪的图形，乔·博勒教授对几千名美国和英国的中学生进行了为期数年的纵向调研，重点分析学生如何开展数学学习，以便找出高效的教学方法。
　　这本书的写作目的，就是为数学老师们提供数学教育的新方法、新思路，以帮助孩子们更好地掌握知识并快乐成长。同时也为家长们提供一些数学基础知识，以便他们间接地帮助提升课堂教学质量。
　　希望这本书能够使被数学""伤害过""的学生重新点燃兴趣；鼓舞热爱数学的人继续努力；为从事数学教育的人指明前进方向。

　　乔·博勒（Jo Boaler），斯坦福大学数学教育专业教授，www.youcubed.org创始人。曾任英国苏塞克斯大学居里夫人学院数学教育学专业教授，伦敦国王学院研究员。她常年担任美国和英国大型刊物及电视频道特约撰稿人，其中包括《华尔街日报》和《时代周刊》（伦敦版）。其研究成果被广泛刊载于各国学术期刊、报纸。她曾因在"数学教育领域的卓越贡献"而受邀赴美国白宫发表演讲，并应邀担任国际经合组织国际学生评估项目顾问。

版权信息
引言 数学教育改革迫在眉睫
01 什么是数学？为什么我们都离不开数学？
什么是数学，真的是这样吗？
数学家们到底是做什么的？
02 数学课堂教学的问题新旧教学模式之争
学生们学而不思
学生们缺乏相互交流的学习模式
理论知识与实际生活相脱节
03 美好的愿景提高课堂教学的方法
相互交流的学习方法
基于课题式的数学教育学习模式
04 征服“数学考试”这头怪兽能够激励数学学习的新模式
数学教学的尴尬处境
对于数学学习的评估
05 把教育驶入“慢行道”美国分层式教学为何效率如此低下
分层式教学与混合式教学的差异
为何混合式教学更有助于学业
培养学生们的相互尊重更重要
不好的教学模式会形成心灵的枷锁
06 作为糖与香料的代价女性为何与数学渐行渐远
关于人类大脑的最新研究
其他的教育壁垒
社会上的陈规陋习
07 数学应该怎样学关键策略与辅助教学方法
重要的数字感觉和理解能力
暑期数学课程
08 给孩子最好的数学启蒙兴趣活动和教育建议
数学的兴趣培养
趣味题和思考题
学会去提问
解题策略
对数字的灵活运用
09 让孩子爱上数学开启学校数学教育的新模式
与老师和校方进行沟通
厘清数学教育的错误观点
卷尾语
致谢
附录 书中数学问题的解答

　　Emily Moskam老师的数学课堂不像我之前旁听过的数学课堂那样安静。我看到一群正值青春期的高大男孩正站在教室前方，一边解题一边开心地说笑着，其中一位男孩正在兴高采烈地与大家分享着他的解题思路与技巧。阳光透过窗户洒满教室，前面的讲台在照射下如同光影四射的舞台一般。我迅速地穿过屋内过道找好座位就座。
　　Moskam老师觉察到我的来访，轻轻地向我点头示意。此时所有学生的目光都集中在教室前方的黑板上，以至于根本没有注意到我刚才的敲门声。黑板上这道题的大致内容是，计算一位滑板运动员从圆形旋转平台边缘某处脱离后滑向至对面缓冲墙面的时间。这道题目比较复杂，因为它涉及许多高年级才会学到的数学知识。虽然没有人能计算出结果，但是却有很多学生踊跃地表达了他们的想法。
　　在这群大男孩讲解完毕后，又有三位女孩走到讲台前补充刚才男孩们所阐述的观点，并将其延伸讨论。Ryan，一位高个子男孩，在自己的座位上问道：“你们接下来打算怎样求得终结果呢？”三位女孩随后解释了她们的想法：首先需要计算出滑板运动员的滑行速度，再尝试找出运动员脱离旋转轨迹时的位置，后计算出运动员滑行至缓冲墙面的距离。
　　这种课堂教学模式激发了学生的学习热情，拓宽了思考的维度。学生们各自以小组或者个人的形式到讲台前分享着他们的解题思路。在十分钟内，全班学生运用三角函数和平面几何的知识，并且结合相似三角形和切线的有关法则成功地解答了这道题。所有学生通力合作，就像是一台经过充分磨合的机器那样高速运转，通过共享各自独有的思路朝着同一目标迈进。面对这道难题，学生们的精彩表现让我留下了深刻印象。（这道数学题的完整解题过程，还有本书后面提及的其他数学题目，在附录中均可找到标准答案。）
　　这堂数学课的神奇之处在于：学生们通过集体讨论共同解答了这道数学题，而不是通过老师的讲解来完成解题过程。可以说几乎每一位学生都对题目的解答做出了一定贡献，这使得他们每一个人都会感到激动与自豪。每位学生在分享自己观点的时候，其他学生一边聆听，一边在原有基础上不断拓展并完善自己的解题思路。
　　传统的数学教学通常是以老师讲解为主，学生们在安静听课的同时反复地练习老师传授的解题思路；新式教育改革拥护者们认为学生应该积极参与到课堂教学当中，通过自主地表达各种想法去解决问题。那些固守于“传统教育阵营”的人总是担心，这种以学生为主的教学方法会或多或少地对数学方法的标准性、准确性以及在学生升入高年级后的教学质量产生不利影响。但是这堂数学课却是能够让持有不同教育观点的各方均能满意的完美例证。因为从事实来看，学生们能够很熟练且严谨地运用本应在高年级掌握的数学方法来解题，同时他们还被允许在课堂上以自己喜爱的方式去解题：或独立思考，或集体讨论。有的学生在课后说：“我喜欢上这种课！”周围的伙伴们也纷纷点头表示赞同。
　　十分不幸的是，几乎没有数学课能够达到像Moskam老师这样的效果，而无法达到这种教学效果的原因正是美国数学教育的顽症。大多数学生对数学的厌恶情绪源自他们内心深处的恐惧与焦虑。正是因为缺乏良好的数学基础，使得他们在修完基础课程后尽量避免继续学习数学，这将间接对医药、科学、工程学等领域的进一步发展构成严重威胁。我们通过以下实例来说明这令人不寒而栗的事实：
　　1.在近一次由40个国家联合举办的数学教学评估大会中，美国仅位列28位，当把教学投入时间纳入评估范围时，美国的教学排名瞬间跌到谷底。
　　2.学生学习数学的兴趣正在衰减。在我担任斯坦福大学教授的时候，以过去10年为节点，平均每年在1470名学生中才有16名学生选择数学专业。而与此同时，美国开设学制为4年的数学专业的高校比例下降了19%。
　　3.目前在美国高校开设的工程学、数学以及信息科学学术领域中，有大约44%的硕士学位、大约35%的学士学位由外国留学生获得。孩子们的数学成绩与学习兴趣依然很低，但是问题的根源并不在这里。许多成年人对数学同样持有厌恶的情绪，这与他们童年在学校的经历有着极大关系，他们中有不少人不惜一切代价，在工作和生活中尽量避免跟数学有任何交集。但是随着新兴科学技术的不断涌现，这些成年人不得不重拾数学知识才有可能在社会上立足。不仅如此，如果美国人能够忘记过去在学校时的那些经历，并且以一种另外的视角重新认识数学，而不是把记忆停留在课堂上见到的各种稀奇古怪的图形上面，那么数学也许会回馈给他们丰厚的收获和无限的欢乐。
　　每当我告诉别人我是一名数学教授时，他们总会表现出无比的诧异与错愕，甚至他们会觉得数学是自己的大命门。每当我听到别人如此评价数学时心中不免有些遗憾，因为我知道他们在课堂上所接受的数学教育是那么不堪回首。我近采访了这样一群年轻人：在学校时他们痛恨学习数
　　学，但在工作中他们又发现数学其实非常的有趣，他们中甚至有人在工作之余开始研究数学谜题了。这些人不禁产生疑问：这么有趣的一门学科为什么会在学校课堂上变得如此索然无味？
　　这种对数学的厌恶情绪同样出现在美国的流行文化当中。在动画片《辛普森一家》中曾有过这样的情节：Bart在学期期末将教材交还给老师的时候，老师发现数学教科书依旧像领取时那样整洁。“这些书并没有翻动过啊！”Bart的这句感慨同样映射出了一些相同年龄段的学生的心声。芭比娃娃开口说出的第一句话也许正是从她们的消费者那里获取的灵感：“数学课真是太烦人了！”不过后来由于这句话遭到了数学老师和女权主义者的强烈抗议，制造商们不得不迅速对玩具做出相应调整。
　　其实上述的情况并非个案。在2005年，一项民意调查发现了一个令人震惊的事实：每10名成年人中就有4名表示上学时厌恶数学，这项比率要高于对其他学科厌恶程度的2倍。
　　尽管如此，我们却有足够证据表明数学以其独特的潜在之美足以引发人们的兴趣。比如说近几年来以数学为题材的电影作品，如《美丽心灵》《心灵捕手》《证明我爱你》等。另外有关数学方面的书籍同样也很畅销，比如《费马大定理》《圆周率（π）》等。值得注意的是，数独游戏近受到了追捧。
　　数独的基本模式是在一个由3行3列构成的正方形格子中填入数字1至9，每个数字只能使用1次。在美国的任何一个地方，不论是在工作场所或是休闲场所中，你都能找到那么一群人沉浸在这种由小格子组成的游戏中。数独可以锻炼人的逻辑思考能力。这种流行趋势反映了一个有趣的事实：在学校数学被普遍厌恶，而在工作、生活以及休闲时，数学又是那么的有趣。数学在美国人的生活中具有两面性：有在学校课堂上晦涩难懂、无聊透顶的一面，也有在工作与生活中充满惊喜、欢乐无穷的一面。我写这本书主要是向现在的学生展示数学积极的一面，使他们对数学产生兴趣，为他们将来的发展打好基础。
　　……

　　“什么是数学？”在我开展诸多有关教育的调查研究中，我每次都会询问那些接受过传统教育的学生这个问题。他们的回答多半是：“数字运算”或是“一堆定理”。而当我把这个问题抛给数学家时，他们多半会回答：数学是一种“研究方法”或者一套“思想体系”。学生们在谈到其他学科时，比如英语课和科技课，他们所理解的学科核心内容与常年从事该领域研究的专业人士所持观点基本一致。那么为何学生与数学家对数学这门学科的认知反差如此之大呢？学生们又是如何形成了如此偏离于数学学科本质的认知呢？
　　著名的哲学家和数学家Reuben Hersh曾写过一本名为《数学是什么，真的是这样吗？》的著作。在这本书中他探寻了数学的真正核心，并得到了一个重要观点：人们之所以不喜欢数学，很大程度上是由于课堂教学对于数学本来面目的歪曲。数百万美国人在学校学习数学时使用的都是极其缺乏学科内涵的数学教材，这使得人们在课堂对于数学的认识，与生活及工作中所接触的数学大相径庭，与数学家们所追求的数学比较的话更是相去甚远。
　　什么是数学，真的是这样吗？
　　数学可以定义为“描述人类活动、刻画社会现象、解释现实世界并勾勒出未来发展趋势的一种量化方法”，是我们人类文明重要的一部分。在著名作家Dan Brown的畅销小说《达·芬奇密码》中，作者谈到了关于“黄金分割率”方面的知识，这一比率通常用希腊字母φ表示。“黄金分割”早记录于公元前6世纪，1202年又因为数学家斐波那契的传播而闻名于世。关于“黄金分割”，斐波那契曾提及一道有趣的数学题，具体是这样的：
　　某人把1对兔子放置在四周都有围栏的区域中养殖。假设每对兔子在出生的两个月后就能繁殖出另外1对兔子，且1对兔子每个月只能生出1对兔子来，那么按照这种规律，在1年之内总共可以繁殖多少对兔子？
　　将每个月计算得出的结果依顺序排列，就得到了我们所熟知的斐波那契数列：
　　1，1，2，3，5，8，13，21，34……
　　随着数列的逐级递推，我们会发现数列的第n+1项与第n项的比值（n=1，2……）与1.618这一数值越来越接近，而这一数值恰好等于“黄金分割率”。
　　让我们感到惊讶的是，这一比值广泛存在于自然界的万物生长规律之中：比如鲜花的种子以其特定的螺旋方式排列，生长比值接近1.618。贝壳、松果还有凤梨等植物外壳纹路的排列方式也具有类似的特征。
　　下面以图片来举例来说明：如果你仔细观察图片中的雏菊，就会发现雏菊的种子以花盘中央为圆心呈螺旋状排列，只是不过每一层种子排列的旋转方向或左或右。
　　如果你仔细沿着图中雏菊种子的排列轨迹描绘出曲线，你就会发现靠近花盘圆心的里层可以画出21条逆时针旋转的曲线，而远离圆心的外层可以画出34条顺时针旋转的曲线。这些数字恰好是斐波那契数列中的某一项。
　　更为有趣的是，通过测量人体的某些身体结构也可以发现类似的“黄金分割率”。比如：人类身高与肚脐至地面距离的比值；肩膀到指尖距离与手肘到指尖距离的比值等。因为满足“黄金分割率”的图形或物体可以让眼睛感到舒适，因此这一比例普遍存在于许多艺术作品和建筑物中，甚至联合国的大楼、雅典的帕特农神殿、埃及的金字塔都应用到了类似的比例特征。
　　应该说那些有机会去见识数学“本来面目”的孩子是非常幸运的，因为这有助于他们的未来发展。负责《纽约时报》科学版面记者的MargaretWertheim回忆起自己童年时曾有幸跟着一位来自澳大利亚的老师在课堂上学习数学，她认为正是这位老师的数学课转变了自己的世界观：
　　我在10岁那年经历了一次可以称之为“非常奇妙”的数学体验。记得那堂数学课我们主要学习圆形，作为优秀的数学教师，Marshall先生带领我们自主地去探索隐藏在这个简单图形中的奥秘：无理数π（亦称超越数）。对于年幼无知的我来说，那时的感觉就好像得到了神的指引之后，在浩瀚无边的宇宙中发现了一处宝藏一样兴奋。无论在何时何地，每当我看到圆形图案时，内心都会不自觉地联想到π这个神秘的数字。它几乎存在于世间万物当中：在太阳、月亮、地球中；在蘑菇、向日葵、橙子、珍珠中；在车轮、表盘、瓦罐、电话拨号盘中……以上所有这些客观事物都可以经由π联系到一起，显然π作为一种共同属性是超越这些客观事物的存在。我对此感到无比震撼，仿佛得到了指引，使我透过眼前的景象瞥见了神奇数学王国的真面目。也就是从那个时候起，我便下定决心开始去寻找隐藏在身边的数学奥秘。
　　在经历过美国的数学课堂教育后，有多少学生能够像Wertheim那样来刻画属于自己心中的数学呢？为什么学生们并没有像Wertheim那样，被数学的奇妙所震撼并陶醉于其中，怀着一颗求索之心去寻找数学与现实世界的关联呢？这恰恰是因为他们被课堂上所建立起的数学假象误导了，因而没能亲身体验真正的数学到底是个什么样子。出版过多部数学专著的数学家Keith Devlin指出，数学家其实并不精于计算，事实上他们的工作重心并不在于此。数学家会把数学作为一种“研究客观世界的一种方法”。