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Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen
- 出版时间:德语
- 热度:9155
- 上架时间:2024-06-30 08:52:20
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内容介绍
目录
版权信息
§.1．Gruppen von räumlichen Transformationen．Hauptgruppe．Aufstellung eines allgemeinen Problems.
§.2．Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst, werden nach einander adjungirt．Die verschiedenen Typen geometrischer Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss.
§.3．Die projectivische Geometrie.
§.4．Uebertragung durch Abbildung.
§.5．Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements．Das Hessesche Uebertragungsprincip．Die Liniengeometrie.
§.6．Die Geometrie der reciproken Radien．Die Interpretation von x+iy.
§.7．Erweiterungen des Vorangehenden．Lies Kugelgeometrie.
§.8．Aufzählung weiterer Methoden, denen eine Gruppe von Puncttransformationen zu Grunde liegt.
§.9．Von der Gruppe aller Berührungstransformationen.
§.10．Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten.
Schlussbemerkungen.
Noten.
Anmerkungen zur Transkription
§.1．Gruppen von räumlichen Transformationen．Hauptgruppe．Aufstellung eines allgemeinen Problems.
§.2．Transformationsgruppen, von denen die eine die andere umfasst, werden nach einander adjungirt．Die verschiedenen Typen geometrischer Forschung und ihr gegenseitiges Verhältniss.
§.3．Die projectivische Geometrie.
§.4．Uebertragung durch Abbildung.
§.5．Von der Willkürlichkeit in der Wahl des Raumelements．Das Hessesche Uebertragungsprincip．Die Liniengeometrie.
§.6．Die Geometrie der reciproken Radien．Die Interpretation von x+iy.
§.7．Erweiterungen des Vorangehenden．Lies Kugelgeometrie.
§.8．Aufzählung weiterer Methoden, denen eine Gruppe von Puncttransformationen zu Grunde liegt.
§.9．Von der Gruppe aller Berührungstransformationen.
§.10．Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten.
Schlussbemerkungen.
Noten.
Anmerkungen zur Transkription
精彩书摘
Der wesentlichste Begriff, der bei den folgenden Auseinandersetzungen nothwendig ist, ist der einer Gruppe von räumlichen Aenderungen.
Beliebig viele Transformationen des Raumes ergeben zusammengesetzt immer wieder eine Transformation. Hat nun eine gegebene Reihe von Transformationen die Eigenschaft, dass jede Aenderung, die aus den ihr angehörigen durch Zusammensetzung hervorgeht, ihr selbst wieder angehört, so soll die Reihe eine Transformationsgruppe genannt werden.
Ein Beispiel für eine Transformationsgruppe bildet die Gesammtheit der Bewegungen (jede Bewegung als eine auf den ganzen Raum ausgeführte Operation betrachtet). Eine in ihr enthaltene Gruppe bilden etwa die Rotationen um einen Punct. Eine Gruppe, welche umgekehrt die Gruppe der Bewegungen umfasst, wird durch die Gesammtheit der Collineationen vorgestellt. Die Gesammtheit der dualistischen Umformungen bildet dagegen keine Gruppe — denn zwei dualistische Umformungen ergeben zusammen wieder eine Collineation —, wohl aber wird wieder eine Gruppe erzeugt, wenn man die Gesammtheit der dualistischen mit der Gesammtheit der collinearen zusammenfügt.
Es gibt nun räumliche Transformationen, welche die geometrischen Eigenschaften räumlicher Gebilde überhaupt ungeändert lassen. Geometrische Eigenschaften sind nämlich ihrem Begriffe nach unabhängig von der Lage, die das zu untersuchende Gebilde im Raume einnimmt, von seiner absoluten Grösse, endlich auch von dem Sinne, in welchem seine Theile geordnet sind.
Beliebig viele Transformationen des Raumes ergeben zusammengesetzt immer wieder eine Transformation. Hat nun eine gegebene Reihe von Transformationen die Eigenschaft, dass jede Aenderung, die aus den ihr angehörigen durch Zusammensetzung hervorgeht, ihr selbst wieder angehört, so soll die Reihe eine Transformationsgruppe genannt werden.
Ein Beispiel für eine Transformationsgruppe bildet die Gesammtheit der Bewegungen (jede Bewegung als eine auf den ganzen Raum ausgeführte Operation betrachtet). Eine in ihr enthaltene Gruppe bilden etwa die Rotationen um einen Punct. Eine Gruppe, welche umgekehrt die Gruppe der Bewegungen umfasst, wird durch die Gesammtheit der Collineationen vorgestellt. Die Gesammtheit der dualistischen Umformungen bildet dagegen keine Gruppe — denn zwei dualistische Umformungen ergeben zusammen wieder eine Collineation —, wohl aber wird wieder eine Gruppe erzeugt, wenn man die Gesammtheit der dualistischen mit der Gesammtheit der collinearen zusammenfügt.
Es gibt nun räumliche Transformationen, welche die geometrischen Eigenschaften räumlicher Gebilde überhaupt ungeändert lassen. Geometrische Eigenschaften sind nämlich ihrem Begriffe nach unabhängig von der Lage, die das zu untersuchende Gebilde im Raume einnimmt, von seiner absoluten Grösse, endlich auch von dem Sinne, in welchem seine Theile geordnet sind.