对于大多数学生来说，微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且很受挫折的一门课程了。本书不仅让学生们能有效地学习微积分，更重要的是提供了战胜微积分的可靠工具。

　　本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安·班纳教授的微积分复习课程，他激励了一些考试前想获得成功但考试结果却平平的学生。

　　作者班纳是美国普林斯顿大学的知名数学教授，并担任新技术研究中心主任。他的授课风格非正式、有吸引力并完全不强求，甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性，而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤。

　　这本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起。对于每一个想要掌握微积分的学生来说，本书都是极好的资源。当然，非数学专业的学生也将大大受益。

　　本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧，目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容，还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书，也可以作为教材，定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

　　阿德里安·班纳（Adrian Banner），澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司，现为INTECH公司首席执行官兼首席投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。

版权信息
译者序
前言
致谢
第1章　函数、图像和直线
1.1　函数
1.2　反函数
1.3　函数的复合
1.4　奇函数和偶函数
1.5　线性函数的图像
1.6　常见函数及其图像
第2章　三角学回顾
2.1　基本知识
2.2　扩展三角函数定义域
2.3　三角函数的图像
2.4　三角恒等式
第3章　极限导论
3.1　极限：基本思想
3.2　左极限与右极限
3.3　何时不存在极限
3.4　在 ∞ 和 -∞ 处的极限
3.5　关于渐近线的两个常见误解
3.6　三明治定理
3.7　极限的基本类型小结
第4章　求解多项式的极限问题
4.1　x → a 时的有理函数的极限
4.2　x → a 时的平方根的极限
4.3　x → ∞ 时的有理函数的极限
4.4　x → ∞ 时的多项式型函数的极限
4.5　x → -∞ 时的有理函数的极限
4.6　包含绝对值的函数的极限
第5章　连续性和可导性
5.1　连续性
5.2　可导性
第6章　求解微分问题
6.1　使用定义求导
6.2　用更好的办法求导
6.3　求切线方程
6.4　速度和加速度
6.5　导数伪装的极限
6.6　分段函数的导数
6.7　直接画出导函数的图像
第7章　三角函数的极限和导数
7.1　三角函数的极限
7.2　三角函数的导数
第8章　隐函数求导和相关变化率
8.1　隐函数求导
8.2　相关变化率
第9章　指数函数和对数函数
9.1　基础知识
9.2　e 的定义
9.3　对数函数和指数函数求导
9.4　求解指数函数或对数函数的极限
9.5　取对数求导法
9.6　指数增长和指数衰变
9.7　双曲函数
第10章　反函数和反三角函数
10.1　导数和反函数
10.2　反三角函数
10.3　反双曲函数
第11章　导数和图像
11.1　函数的极值
11.2　罗尔定理
11.3　中值定理
11.4　二阶导数和图像
11.5　对导数为零点的分类
第12章　绘制函数图像
12.1　建立符号表格
12.2　绘制函数图像的全面方法
12.3　例题
第13章　最优化和线性化
13.1　最优化
13.2　线性化
13.3　牛顿法
第14章　洛必达法则及极限问题总结
14.1　洛必达法则
14.2　关于极限的总结
第15章　积分
15.1　求和符号
15.2　位移和面积
第16章　定积分
16.1　基本思想
16.2　定积分的定义
16.3　定积分的性质
16.4　求面积
16.5　估算积分
16.6　积分的平均值和中值定理
16.7　不可积的函数
第17章　微积分基本定理
17.1　用其他函数的积分来表示的函数
17.2　微积分的第一基本定理
17.3　微积分的第二基本定理
17.4　不定积分
17.5　怎样解决问题：微积分的第一基本定理
17.6　怎样解决问题：微积分的第二基本定理
17.7　技术要点
17.8　微积分第一基本定理的证明
第18章　积分的方法 I
18.1　换元法
18.2　分部积分法
18.3　部分分式
第19章　积分的方法 II
19.1　应用三角恒等式的积分
19.2　关于三角函数的幂的积分
19.3　关于三角换元法的积分
19.4　积分技巧总结
第20章　反常积分：基本概念
20.1　收敛和发散
20.2　关于无穷区间上的积分
20.3　比较判别法 （理论）
20.4　极限比较判别法 （理论）
20.5　p 判别法 （理论）
20.6　绝对收敛判别法
第21章　反常积分：如何解题
21.1　如何开始
21.2　积分判别法总结
21.3　常见函数在 ∞ 和 -∞ 附近的表现
21.4　常见函数在 0 附近的表现
21.5　如何应对不在 0 或 ∞ 处的瑕点
第22章　数列和级数：基本概念
22.1　数列的收敛和发散
22.2　级数的收敛与发散
22.3　第 n 项判别法 （理论）
22.4　无穷级数和反常积分的性质
22.5　级数的新判别法
第23章　求解级数问题
23.1　求几何级数的值
23.2　应用第 n 项判别法
23.3　应用比式判别法
23.4　应用根式判别法
23.5　应用积分判别法
23.6　应用比较判别法、极限比较判别法和 p 判别法
23.7　应对含负项的级数
第24章　泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论
24.1　近似值和泰勒多项式
24.2　幂级数和泰勒级数
24.3　一个有用的极限
第25章　求解估算问题
25.1　泰勒多项式与泰勒级数总结
25.2　求泰勒多项式与泰勒级数
25.3　用误差项估算问题
25.4　误差估算的另一种方法
第26章　泰勒级数和幂级数：如何解题
26.1　幂级数的收敛性
26.2　合成新的泰勒级数
26.3　利用幂级数和泰勒级数求导
26.4　利用麦克劳林级数求极限
第27章　参数方程和极坐标
27.1　参数方程
27.2　极坐标
第28章　复数
28.1　基础
28.2　复平面
28.3　复数的高次幂
28.4　解 zn = w
28.5　解 ez = w
28.6　一些三角级数
28.7　欧拉恒等式和幂级数
第29章　体积、弧长和表面积
29.1　旋转体的体积
29.2　一般立体体积
29.3　弧长
29.4　旋转体的表面积
第30章　微分方程
30.1　微分方程导论
30.2　可分离变量的一阶微分方程
30.3　一阶线性方程
30.4　常系数微分方程
30.5　微分方程建模
附录A　极限及其证明
A.1　极限的正式定义
A.2　由原极限产生新极限
A.3　极限的其他情形
A.4　连续与极限
A.5　再谈指数函数和对数函数
A.6　微分与极限
A.7　泰勒近似定理的证明
附录B　估算积分
B.1　使用条纹估算积分
B.2　梯形法则
B.3　辛普森法则
B.4　近似的误差
符号列表

　　前言
　　本书旨在帮助你学习单变量微积分的主要概念, 同时也致力于教会你求解问题的技巧. 无论你是第一次接触微积分, 还是为了准备一次测验, 或是已经学过微积分还想再温习一遍, 我都希望本书能够对你有所帮助.
　　写作本书的灵感来自我在普林斯顿大学的学生们. 他们在过去的几年里发现, 与课堂授课、作业讲解以及他们的教科书一样, 本书的初稿是很有帮助的学习指南. 以下是他们在学习过程中提出的一些你可能也想问的问题.
　　这本书为什么这么厚？　我是假设你真的想要掌握这门课程, 而不只是想囫囵吞枣, 一知半解, 所以你已经准备好投入一些时间和精力, 去阅读并理解这些详尽的阐述.
　　阅读之前, 我需要知道些什么？　你需要了解一些基本的代数知识, 并且要知道如何求解简单的方程式. 本书的前两章涵盖了你所需要的大部分的微积分预备知识.
　　啊! 下周就要期末考试了, 我还什么都不知道呢! 从哪里开始啊？　接下来的几页就会介绍如何使用本书来备考.
　　例题的求解过程在哪里？我所看到的只是大量的文字与少量的公式.　首先, 看一个求解过程并不能教会你应该怎样思考. 所以我通常试图给出一种“内心独白”, 即当你尝试求解问题的时候, 脑海中应该经历怎样的思考过程. 最后, 你想到了求解问题的所有知识点, 但仍然需要用正确的方式把它们全部写出来. 我的建议是, 先看懂并理解问题的求解方法, 然后再返回来尝试自己解答.
　　定理的证明哪儿去了？　本书中的大部分定理都以某种方式被验证了. 在附录 A 中可以找到更多正式的证明过程.
　　主题没有次序! 我该怎么办呢？　学习微积分没有什么标准次序. 我选择的顺序是有效的, 但你可能还得通过搜索目录来查找你需要的主题, 其余的可以先忽略. 我也可能遗漏了一些主题. 为什么不尝试给我发送电子邮件呢? 地址是 adrian@calclifesaver.com. 你一定想不到, 我可能会为你写一个附加章节 (也为下一版写, 如果有的话!).
　　你使用的一些方法和我学到的不一样. 到底谁的正确, 我的任课老师的还是你的？　希望我们都没错! 如果还有疑问, 就请教你的任课老师什么是对的吧.
　　页边空白处怎么没有微积分的历史和有趣的史实呢？　本书中有一点微积分历史内容, 但不在这里过多分散我们的注意力. 如果你想记下这些历史内容, 就请阅读一本关于微积分历史的书吧, 那才更有趣, 而且比零零散散的几句话更值得关注.
　　我们学校可以用这本书作为教材吗？　这本书配有很好的习题集, 可以作为一本教材, 也可以用作一本学习指南. 你的任课老师也会发现这本书很有助于备课, 特别是在问题求解的技巧方面.
　　这些录像是什么？　在网站 www.calclifesaver.com 上, 你可以找到我过去复习课的录像, 其中涉及了很多 (但不是全部) 本书的章节和例题.
　　如何使用这本书备考
　　如果你快要参加考试了, 那么发挥本书效用的机会就来了. 我很同情你的处境, 因为你没有时间阅读整本书的内容! 但是你不用担心, 后面的那张表会标出本书的要章节, 来帮助你备考. 此外, 纵观整本书, 下列图标会出现在书中页边空白处, 让你快速识别什么是重要内容.
　　· 例题求解过程始于此行.
　　· 这里非常重要.
　　· 你应当自己尝试解答本题.
　　· 注意：这部分内容大多是为感兴趣的读者准备的. 如果时间有限, 就请跳到下一节.
　　两个通用的学习小贴士
　　· 把你自己总结的所有重要的知识点和公式都写出来, 以便记忆. 虽说数学不死记硬背, 但也有一些关键的公式和方法, 最好是你能自己写得出来. 好性不如烂笔头嘛! 通常来说, 做总结足以巩固和加强你对所学知识的理. 这也是我没有在每一章的结尾部分做要点总结的主要原因. 如果你自己做, 那将会更有价值.
　　· 尝试自己做一些类似的考试题, 比如你们学校以前的期末试题, 并在恰当的条件下进行测验. 这将意味着遵守不间断, 不吃饭, 不看书, 不打手机, 不发子邮件, 不发信息等诸如此类的考试规则. 完成之后, 再看看你是否可以到一套标准答案来评阅试卷, 或请人帮你评阅.
　　除非特殊说明, 标明“节”的一栏包括其下所有小节. 例如, 6.2 节包括从 6.2.1 到 6.2.7 的所有小节.

　　不借助函数却想去做微积分，这无疑会是你所能做的最无意义的事情之一. 如果微积分也有其营养成分表，那么函数肯定会排在最前面，而且是占一定优势. 因此，本书的前两章旨在让你温习函数的主要性质. 本章包含对下列主题的回顾：
　　· 函数，其定义域、上域、值域和垂线检验；
　　· 反函数和水平线检验；
　　· 函数的复合；
　　· 奇函数与偶函数；
　　· 线性函数和多项式的图像，以及对有理函数、指数函数和对数函数图像的简单回顾；
　　· 如何处理绝对值.
　　下一章会涉及三角函数. 好啦，就让我们开始吧，一起来回顾一下到底什么是函数.
　　1.1　函数
　　函数是将一个对象转化为另一个对象的规则. 起始对象称为输入，来自称为定义域的集合. 返回对象称为输出，来自称为上域的集合.
　　来看一些函数的例子吧.
　　· 假设你写出 f（x）= x2，这就定义了一个函数 f ，它会将任何数变为自己的平方. 由于你没有说明其定义域或上域，我们不妨假设它们都属于，即所有实数的集合. 这样，你就可以将任何实数平方，并得到一个实数. 例如，f 将 2 变为 4、将 -1/2 变为 1/4，将 1 变为 1. 最后一个变换根本没有什么变化，但这没问题，因为转变后的对象不需要有别于原始对象. 当你写出 f（2）= 4 的时候，这实际上意味着 f 将 2 变为 4. 顺便要说的是，f 是一个变换规则，而 f（x）是把这个变换规则应用于变量 x 后得到的结果. 因此，说 “f（x）是一个函数” 是不正确的，应该说 “f 是一个函数”.
　　· 现在，令 g（x）= x2，其定义域仅包含大于或等于零的数（这样的数称为非负的）.它看上去好像和函数 f 是一样的，但它们实际不同，因为各自的定义域不同. 例如，f（-1/2）= 1/4，但 g（-1/2）却是没有定义的. 函数 g 会拒绝非其定义域中的一切. 由于 g 和 f 有相同的规则，但 g 的定义域小于 f 的定义域，因而我们说 g 是由限制 f 的定义域产生的.
　　· 仍然令 f（x）= x2，f（马）会是什么呢？这显然是无定义的，因为你不能平方一匹马呀. 另一方面，让我们指定 “h（x）= x 的腿的数目”，其中 h 的定义域是所有动物的集合. 这样一来，我们就会得到 h（马）= 4，h（蚂蚁）= 6，h（鲑鱼）= 0. 因为动物腿的数目不会是负数或者分数，所以 h 的上域可以是所有非负整数的集合. 顺便问一下，h（2）会是什么呢？当然，这也是没有定义的，因为 2 不在 h 的定义域中. “2”究竟会有几条腿呢？这个问题实际上没有任何意义. 你或许也可以认为 h（椅子）= 4，因为多数椅子都有四条腿，但这也没有意义，因为椅子不是动物，所以 “椅子” 不在 h 的定义域中. 也就是说，h（椅子）是没有定义的.
　　· 假设你有一条狗，它叫 Junkster. 可怜的 Junkster 不幸患有消化不良症. 它吃点东西，嚼一会儿，试图消化食物，可每次都失败，都会吐出来. Junkster 将食物变成了 …… 我们可以令 “j（x）= Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色”，其中 j 的定义域是 Junkster 所吃的食物的集合，其上域是所有颜色的集合. 为了使之有效，我们必须认为如果 Junkster 吃了玉米面卷，它的呕吐物始终是一种颜色（假设是红色的吧）. 如果有时候是红色的，而有时候是绿色的，那就不太好了. 一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出.
　　现在我们要来看看函数值域的概念. 值域是所有可能的输出所组成的集合. 你可以认为函数转变其定义域中的一切，每次转变一个对象； 转变后的对象所组成的集合称作值域. 可能会有重复，但这也没什么.
　　那么，为什么值域和上域不是一回事呢？值域实际上是上域的一个子集. 上域是可能输出的集合，而值域则是实际输出的集合. 下面给出上述函数的值域.
　　· 如果 f（x）= x2，其定义域和上域均为 ，那么其值域是非负数的集合. 毕竟，平方一个数，其结果不可能是负数. 那你又如何知道值域是所有的非负数呢？其实，如果平方每一个数，结果一定包括所有的非负数. 例如，平方，结果都是 2.