本书首先介绍MATLAB语言程序设计的基本内容，在此基础上系统介绍各个应用数学领域的问题求解，如基于MATLAB的微积分问题、线性代数问题的计算机求解、积分变换和复变函数问题、非线性方程与*优化问题、常微分方程与偏微分方程问题、数据插值与函数逼近问题、概率论与数理统计问题的解析解和数值解法等；还介绍了较新的非传统方法，如模糊逻辑与模糊推理、神经网络、遗传算法、小波分析、粗糙集及分数阶微积分学等领域。

本书可作为一般读者学习和掌握MATLAB语言的教科书，高等学校理工科各类专业的本科生和研究生学习计算机数学语言的教材或参考书，可供科技工作者、教师学习和应用MATLAB语言解决实际数学问题时参考，还可作为读者查询某数学问题求解方法的手册。

第5 章积分变换与复变函数问题的求解

积分变换技术可以将某些难以分析的问题通过映射的方式映射到其他域内的表达式后再进行分析。例如，Laplace变换可以将时域函数映射成复域函数，从而可以将某时域函数的微分方程映射成复域的多项式代数方程，使得原微分方程在诸多方面，如稳定性、解析解等方面更便于分析，这样的变换方法构成了经典自动控制理论的基础。在实际应用中，Fourier变换、Mellin变换及Hankel变换都是有其应用领域的。如何利用计算机求解积分变换的解析解是本章主要介绍的问题之一。如果读者没有学过积分变换与复变函数课程，也可以利用类似于第3章介绍的方法，直接由计算机求解相关问题。

5.1 节将首先介绍Laplace变换与反变换的定义及基本性质，然后介绍用MATLAB语言中的符号运算工具箱函数求取Laplace变换及反变换问题的解析解方法，还给出了复杂函数Laplace反变换的数值求解方法与应用实例。5.2节将介绍Fourier变换及反变换的定义、性质和变换问题的MATLAB解法，并介绍Fourier余弦变换、正弦变换、离散Fourier正余弦变换等问题的计算机求解方法，并介绍快速Fourier变换的求解与应用。5.3节将介绍Mellin变换、Hankel变换等问题的MATLAB语言的求解算法，可以得出函数的相应变换及反变换。z变换是另一类实用的变换方法，该变换方法也是离散控制理论的数学基础。5.4节将介绍z变换及其反变换的定义和性质，并介绍基于MATLAB语言符号运算工具箱的z变换问题的计算机辅助求解方法。本章的另一个主要问题是复变函数问题及其MATLAB语言求解，可以用5.5节中介绍的方法计算复变函数的奇点与留数，进行部分分式展开等运算，讨论了有理函数Laplace反变换的求解方法和化简方法，基于留数定理还探讨了封闭曲线积分的求解方法。5.7节还将介绍各种差分方程的求解方法。

5.1 Laplace变换及其反变换

法国数学家Pierre-SimonLaplace（1749–1827）引入的积分变换可以巧妙地将一般常系数微分方程映射成代数方程，奠定了很多领域，如电路分析、自动控制原理等的数学模型基础。本节将首先介绍Laplace变换及其反变换的定义与性质，然后介绍利用计算机数学语言MATLAB求解Laplace变换及其反变换的方法与应用，最后给出复杂函数Laplace反变换的数值求解方法与实用函数。

5.1.1 Laplace变换及反变换的定义与性质

一个时域函数f(t)的Laplace变换可以定义为

∫

L[f(t)]=∞ f(t)e.stdt=F(s)（5-1-1）

式中，L[f(t)]为Laplace变换的简单记号。0下面将不加证明地列出一些常用的Laplace变换性质。

· 150·高等应用数学问题的MATLAB求解（第四版）

（1）线性性质。若a与b均为标量，则L[af(t)± bg(t)]=aL[f(t)]± bL[g(t)]。

（2）时域平移性质。L[f(t. a)]=e.asF(s)。（3）s-域平移性质[。L[e.atf](t)]=F(s+a)。

（4）微分性质。df(t)/dt=sF(s). f(0+)，一般地，n阶微分可以由下式求出

n

dn

L [f(t)/dt]L= s nF(s). s n.1f(0+).s n.2f′(0+) .···. f(n.1)(0+)（5-1-2）

若假设函数f(t)及其各阶导数的初值均为0，则式（5-1-2）可以简化成

n

此性质事实上是微分方程映射成代数方程的关键式子。

t

（5）积分性质。若假设零初始条件，L0 f(τ)dτ=Fs (s)，一般地，函数f(t)的n重积分

的Laplace变换可以由下式求出L [∫[t dnf(∫t[t )/∫dt] = ] s n] F (Fs() s) （5-1-3）Lf(τ)dτn=（5-1-4）

··· sn

00

（6）初值性质。tlim 0 f(t)=limsF(s)。

s→∞

（7）终值性质。F(s)没有s.0的极点，则limf(t)=limsF(s)。如果→

t→∞ s→0

（8）卷积性质。L[f(t). g(t)]=L[f(t)]L[g(t)]，式中，卷积算子. 的定义为

∫t ∫t

f(t). g(t)=f(τ)g(t. τ)dτ=f(t. τ)g(τ)dτ（5-1-5）

00

（9）其他性质。[] ∫∫

n

L[tnf(t)]=(.1)n dndFsn (s), L ft(n t)= ∞ ··· ∞ F(s)ds（5-1-6）

ss

如果已知函数的Laplace变换表达式F(s)，则可以通过下面的反变换公式反演求出其Laplace反变换f(t)=L.1[F(s)]=1 ∫λ+j∞ F(s)estds（5-1-7）

……

第四版前言

科学运算问题是科学与工程中的重要问题。在当前一般高校理工科课程设置中，高等数学、线性代数、概率论与数理统计等为必修课程，有些专业还有复变函数、积分变换、最优化、数值分析等选修课程。有了这些数学基础，很多专业课程相应的数学模型就可以建立起来了，而这些数学问题的求解就成了不容回避的问题了。

在总结多年实际教学经验的基础上，作者曾在首届MathWorks亚洲研究与教育峰会（2014年11月，东京）上提出了数学问题的“三步求解方法”，其第一步就是用简单的语言理解要求解数学问题的物理意义，第二步是如何用计算机能接受的方式将数学问题输入给计算机，第三步就是调用恰当的函数将数学问题的解得出来。有了这样的思路，则普通研究者可以直接利用计算机工具在短时间内解决已经学习过甚至根本没有学习过的数学分支的应用问题。

本书书名中的“高等应用数学”不等于“高等数学”，而是预期尽可能广地覆盖理工科数学分支，其对数学分支的涵盖范围是非常广泛的。书中涉及了大量的数学公式，作者没有期望读者能读懂这些公式，大概理解它们的物理意义就足够了，侧重点还是应该放在学习基于MATLAB的实际求解方法。尽管较好理解数学公式可能对学习数学问题的求解方法有所帮助，但这不是必要的。

虽然数学问题的求解在以后的课程学习与科学研究中是不可避免的，那些自认为数学基础比较薄弱的读者也不必担心，因为本书介绍的方法是尽可能地避开烦琐的、深奥的数学，将数学问题及其求解过程用MATLAB能够接受的形式全盘推给计算机去求解，充分发挥计算机的潜能去替你完成任务，最终收获问题的解。尽管这样的方式有时得不到一些数学家的接受与认可，但这对应用科学家与工程技术人员足矣。

比如说，本书介绍了代数方程的求解方法。在实际应用中数学家或其他科研工作者可能面

.

对下面的代数方程束手无策.x+3y3 +2z2 = 1/2 x2 +3y + z3 =2 . x3 +2z+2y2 = 2/4

而你却完全可以利用本书介绍的方法将该方程推给计算机去求解，在几秒钟之内得出原方程全部27组根，将根代入原方程，误差可能达到10.34 级别。另外，对用户而言，如果使用工具，求解这样的方程与求解鸡兔同笼方程一样简单。

再如，如果已知矩阵A，数学家无法求出复合矩阵函数ψ(A)=eA cos At 或Ak 时，你可以轻而易举地借助计算机得出所需的矩阵函数与乘方的解析解。

可以想象一下，当数学家只能利用其巧妙的构思去判定19931993 的个位数是几的时候，你却能易如反掌地将其全部6576位数字都列出来；当数学家在苦思冥想给定的矩阵方程AX+XD. XBXT +C=0到底有多少个根的时候，你却有能力利用本书的方法将其实数根与复数根一次性地全部求解出来；当数学家津津乐道地描述“(a,b)区间内至少存在一个ξ”

· II·高等应用数学问题的MATLAB求解（第四版）

的时候，你却能将满足条件的ξ的所有可能值都精确地实实在在地找出来；当数学家在纠结到底用哪种技巧去求出某个函数的不定积分的时候，你却能借助计算机在几秒钟之内用普通得不能再普通的方法求出该不定积分的解析解；当数学家因为想使用神经网络而苦苦阅读学习相关知识的时候，你却能通过几分钟基础概念的学习之后熟练地利用神经网络解决实际问题，你是不是应该建立起对求解实际应用数学问题能力的自信心呢？是不是会有龟兔赛跑中兔子的优越感呢？这样的例子不胜枚举，所以不要惧怕数学，因为如果系统地学习掌握了本书中介绍的方法和思路，你求解实际应用数学问题的能力将远远超过不会或不擅用计算机工具的一流数学家。

本书继承了以前版本的写作风格，不是按手册的方式，即MATLAB能求解什么就介绍什么，而是按介绍数学理论与系统知识的需求，组织教学材料、求解方法与求解工具，使得读者有能力直接求解相关的数学问题。如果MATLAB能求解某类问题，作者会直接建议使用现有函数去求解，如果没有现成函数时，作者会编写出通用的函数，可以同样直接地求解这类问题。本书比较典型的独到的求解方法包括矩阵的任意非线性函数求解、矩阵任意乘方的求解、任意多解非线性矩阵方程的求解、有约束非线性规划问题的全局求解方法、分数阶微积分的高精度数值计算等，通过实际例子的介绍，同时演示了将求解思路变成代码的过程与技巧。

从数学问题解析运算的角度看，由于基于Maple符号运算引擎的MATLABR2008a版本已经淡出了历史舞台，本书早期版本中很多内容已经不能正常使用，新版本提供的功能也有待系统地利用与介绍，所以需要一个新的版本。本书引入的新内容包括三维隐函数等图形绘制新方法、场论的解析运算、无穷级数的收敛性判定、曲线曲面积分解析运算的通用求解函数、数值积分曲线曲面的绘制、Diophantine方程求解、矩阵任意乘方的计算、数值积分变换方法与应用、Laurent级数展开、非线性矩阵方程的数值解法、非线性规划问题的全局搜索函数、常微分延迟微分方程的框图解法、alpha稳定分布与Lévy飞行、离群值检测、全新的分数阶微积分高精度计算方法、基于框图的复杂分数阶系统建模与求解通用方法等。本书在不显著增加本书页码的前提下最大限度地压缩了排版的空间浪费，融入了新的内容，并对使用的语句做出了更详尽的注释，使得读者能更好地理解涉及的代码，更有效地学习本书的内容。

本书的前几版在本科生、研究生实际教学中已经使用十余年，配备了较全面的交互性计算机辅助教学材料，本书相应的课程“现代科学运算——MATLAB语言与应用”目前为辽宁省精品资源共享课程，读者可以观看该课程的全程授课视频，享用全套教学资源，也建议有相关想法的教师在本校开设相应的课程，使得更多的理工科学生受益。英文版教材Scienti.cComputingwithMATLAB（第二版）2016年由美国CRC出版社出版，可以作为双语课程或全英文课程的材料，与此同时，本书全英文课程视频制作也在计划之中，预计将在本书正式出版时完成。感谢向日葵教育科技公司李婷女士在视频制作过程中提供的帮助。

书稿完成之际要感谢的人很多，感谢教学团队成员的共同努力、学生们在课程建设中所做的扎实的工作、诸多热心读者的建议、出版界朋友的辛勤工作，特别地感谢挚爱的家人一如既往的支持与鼓励。

薛定宇　2017年6月