★传达主流数学的魅力，揭开数与空间的神秘面纱
　　★从哲学高度展示数学思维方式，启示你如何抽象思考
　　★剑桥大学数学教授，“数学界诺贝尔奖”——菲尔茨奖得主蒂莫西高尔斯著
　　★中国科学院院士、著名数学学者李大潜推荐，赞其为“数学科普读物的楷模”
　　

所有人在日常生活中都会接触到数学问题，多数人却又对之心存畏惧。在这本极为易读又充满趣味的小书中，蒂莫西•高尔斯解释了高等数学与我们在中小学所学的数学知识之间的一些最为根本的、主要是哲学性的区别，让我们能更好地理解那些听起来带有悖论的概念，比如“无限”“弯曲空间”“虚数”等。从基本的观念，到哲学探究，再到与数学共同体相关的一般社会学问题，本书揭开了空间和数的神秘面纱之一角。

　　

蒂莫西高尔斯　剑桥大学劳斯鲍尔数学教授，“数学界诺贝尔奖”——菲尔茨奖获得者，该奖专门授给“年轻数学家所作的*为大胆、*为深入、*有启示性的研究”。

前言
序言
第一章　模型
扔石头问题
何为数学模型
掷骰子问题
预测人口增长
气体的行为
大脑和计算机的模型化
地图染色与时间表制定
“抽象”一词的不同含义
第二章　数与抽象
抽象方法
没有棋子的象棋
自然数
零
负数和分数
实数和复数
初探无穷大
把负数和分数放到指数上
第三章　证明
根号2的无理性
黄金分割比的无理性
圆的分割
毕达哥拉斯定理
缺角正方形网格的铺地砖问题
三条看似显然实则需要证明的陈述
第四章　极限与无穷
1.2的平方根约为1.414 213 56
2. 我们经过那个路灯柱时时速为40英里
3. 半径为r的圆面积为πr2
第五章　维度
怎样定义高维空间？
四维空间能否图像化？
高维几何中的点是什么？
分数维
第六章　几何
欧几里得几何
平行公设
球面几何
双曲几何
空间何以能够弯曲？
流形
第七章　估计与近似
无法用简单公式表达的简单序列
近似的方法
关于对数、平方根等你只需要知道这些
素数定理
排序算法
第八章　常见问题
1. 数学家在30岁以后就不比当年了，这是真的吗？
2. 为什么女性数学家很少见？
3. 数学与音乐息息相通吗？
4. 为什么有那么多人旗帜鲜明地厌恶数学？
5. 数学家在工作中使用计算机吗？
6. 数学研究何以可能进行？
7. 有没有著名数学问题被业余爱好者解决过？
8. 数学家们为什么会认为某些定理和证明是美丽的？
索引
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
Q
R
S
T
V
W
Z

这一本篇幅不大的书显得出类拔萃，应该说为现有众多的数学科普读物提供了一个楷模。能够做到这一点，而且做得如此出色，不言而喻，归根结底是和作者深厚的数学功力、对数学内涵及其精神实质的深刻理解和把握分不开的。

——中国科学院院士、复旦大学数学教授 李大潜



（本书是）通向数之美和神秘的极为清晰的向导。

——吉尔伯特阿代尔

序言

李大潜



数学是绝大多数人学得最多的一门功课，但对于“数学是什么？”这一看来很普通的问题，却很难一下子给出一个使公众满意的回答。按照恩格斯的说法，数学是以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的。尽管人们现在对空间形式和数量关系的理解已经大大深化和拓展了，但作为一种哲学的概括，恩格斯的这一论断应该说并没有过时，也便于向公众表述并为公众所接受。然而，要真正深入地回答“数学是什么？”这个问题，不能仅仅从定义出发，而必须涉及数学的具体内涵，作一些比较深入的解释和说明，才能达到使人信服的效果。但是，要这样做，会常常碰到下面两个似乎难以克服的技术上的困难。

第一，数学内涵的展现离不开众多的术语、记号和公式。在公众对有关的数学内涵产生兴趣并开始有所领悟之前，很可能早已为这些术语、记号和公式搞得晕头转向甚至望而却步了。

第二，数学内涵的展现同样离不开必要的逻辑推理。推理若过分严密，很难引起公众的兴趣；但若过于粗疏，语焉不详，则又易使人不得要领。

在现在的这一本书中，看不到很多的术语、记号和公式，对有关的数学概念及内涵一律用简明而生动的语言来介绍，看似如数家珍，娓娓道来，但举重若轻，高屋建瓴，反而更好地揭示了本质。不熟悉有关数学内容的读者，会感到茅塞顿开、豁然开朗；而已经熟悉有关内容的读者，也会有如沐春风、别开生面的感受。书中在论述极限时，用有限来刻画无限的生动而细致的处理方式，虽然本质上是经典的ε-N（或ε-δ）数学描述的一套直观而通俗的说法，但脱离了数学记号和公式，更显得清楚和亲切，就是一个典型的范例。书中对黄金分割比是一个无理数的证明、用地图册来介绍微分流形的概念等等，都同样独具匠心，可圈可点。另一方面，作者在不便于或不需要进行严格数学推导的时候，会巧妙地绕过去，但对于必要的推导和论证，绝不偷工减料，而是不遗余力地以十分详尽的方式加以说明，一步步地将读者引向有关的结论，同时也加深了读者对逻辑论证严密性的理解。在这方面，关于数系的扩张、关于√ 2是无理数的证明、关于平行公设的独立性等段落，都是倾心着力撰写的。正因为作者作了如此认真的努力，这一本篇幅不大的书显得出类拔萃，应该说为现有众多的数学科普读物提供了一个楷模。能够做到这一点，而且做得如此出色，不言而喻，归根结底是和作者深厚的数学功力、对数学内涵及其精神实质的深刻理解和把握分不开的。

本书一开始就讲了数学建模，指出数学研究的对象只是有关现实世界的数学模型，同时，指出有关的数学模型并不真正是相应的现实世界，而只是它的一个近似的代表与反映。在书中作者反复强调并解释的是他的一个基本的观点：对于数学，不要问它是什么，而只要问它能做什么。这一抽象化的思考方法，将重点放在数学内部体系的相容性，强调新的数学概念、方法与内容和已有的数学体系应自然地融为一体，强调要将有关的数学内容脱离其物理上的实在、变为符合一些特定规则的记号，就会更利于应用，更利于正确地理解高等的数学。作者在书中举出指数函数、圆的面积、高维空间、分数维的几何等等一系列的例子来阐明这一观点对克服难关，深入理解与拓展数学概念所带来的好处。这是很有启发性的，也是很自然的，反映了抽象思维的必要性和优越性。由于有关的数学模型虽然只是现实世界的一个近似的代表，但毕竟是一个代表，适应于它的一些规则一开始并不是凭空而来的，而是从现实世界中移植、挪用或抽象过来的，对不同的现实世界可能引入不同的规则，也会造成不同的数学对象（不满足乘法交换律的矩阵，就是一个例子）。数学与现实世界的关系，套用一句文艺界的术语，看来应该是源于生活、高于生活的关系。如果作者在强调他的上述观点及做法的同时，也能够强调，数学要真正得到原创性的重大进展，除了要密切关注及面对数学内部的矛盾运动外，还要密切关注现实世界（包括其他科学技术）对数学提出的问题和需求，努力从外部世界中汲取生动活泼、丰富多彩的营养，应努力使二者相互促进、相得益彰，是不是会更全面、更富有启发性呢？

本书的作者蒂莫西高尔斯（Timothy Gowers）教授是1998年获得菲尔茨（Fields）奖的著名数学家。2000年当我在法国巴黎访问时，因美国克雷（Clay）研究所给法国科学院院士阿兰科纳（Alain Conne）教授颁发一个大奖，曾在法兰西学院（Collège de France）的讲演大厅里召开过颁奖会。会上获菲尔茨奖不久的蒂莫西高尔斯教授应邀作了一个公众讲演。他在强调数学是一个整体的时候，曾说，如果把所有的数学分支按是否有联系组成一个网络，一定是一个连通的网络，而不会有一些学科，尽管它们看来与其他分支联系很少，游离于整个数学这一大网络之外。这正像有些人有很多亲戚朋友，有些则很少，但整个社会的人群所组成的网络仍是连通的一样。他的这一观点及如此通俗易懂的说法曾给我留下了深刻的印象，从这个意义上说，我和他已有一面之缘。这次有机会看到他这一本颇具特色的数学科普著作的中译本问世，也是一件幸事，特为之序。



2013年12月25日

前言



20世纪初，伟大的数学家大卫希尔伯特发现，有很多数学中的重要论点在结构上十分类似。他意识到，在适当的广义范畴下，这些论点事实上可以视为等同。与此类似的一系列发现为一个崭新的数学分支开启了大门。而这一新领域中的一个核心概念——希尔伯特空间——正是以希尔伯特的名字来命名的，这一概念使许许多多的现代数学研究变得清晰，范围之广包括了从数论直到量子力学各个分支，以至于如果你对希尔伯特空间的基本理论一无所知，你就根本不能算是一名受过良好教育的数学家。

那么，什么是希尔伯特空间呢？在典型的高校数学课程中，它被定义为“完备的内积空间”。修读这样一门课程的学生，理应从先修课程中了解到，所谓“内积空间”是指配备了内积的向量空间，而所谓“完备”是指空间中任意柯西列都收敛。当然，要想理解这样的定义，学生还必须知道“向量空间”、“内积”、“柯西列”和“收敛”的定义。就拿其中一个举例来说（这还并不是最长的一个）：序列x1，x2，x3，…若满足对于任意正数ε，总存在整数N，使得对于任意大于N的整数p和q，xp与xq间的距离不大于ε，则称这个序列为柯西列。

简言之，如果你希望了解希尔伯特空间是什么，你就必须首先学习并且消化一系列由低到高、等级分明的较低级概念。毫无疑问这需要耗费时间和精力。对于许多最重要的数学思想来说都是这样。有鉴于此，要写一本书提供对数学的简单易懂的介绍，其所能达到的目标就极为有限，更何况这本书还需要写得很短。

我没有选择用更聪明的办法绕着这个难题走，而是集中关注数学交流中另一重完全不同的障碍。这重障碍并非技术性的，而更多属于哲学性质的。它区分开了两种人：一种人乐于接受诸如无穷大、负一的平方根、第二十六维和弯曲空间这样的概念，另一类人则觉得这些概念荒诞不经。其实无须沉浸在技术细节中，依然有可能坦然接受这些思想，我将努力表明如何做到这一点。

如果说这本书要向你传达什么信息的话，那就是——我们应当学习抽象地思考，因为通过抽象地思考，许多哲学上的困难就能轻易地消除。在第二章里，我将详细说明什么是抽象的方法。第一章中则考虑我们更熟悉、与日常更相关的抽象：从现实世界的问题中提取核心特征，从而将其转化为数学问题的过程。第三章中我将讨论什么叫作“严格的证明”。这前三章是关于一般性的数学的。

之后我将讨论一些更加具体的课题。最后一章与其说是关于数学的，不如说是关于数学家的，因此会跟前几章有些不同。我建议你在读过第二章后再阅读后续章节。除此以外，这本书已经尽量做到不受先后顺序影响——在任何章节中，我并没有假定读者已经理解并记住了先前的内容。

读这本书并不需要太多的预备知识，英国GCSE课程或同等水平即可。不过我假定读者具有一些兴趣，而不是需要靠我去大力宣扬。因此，我在书中没有用到趣闻轶事、漫画、惊叹号、搞笑的章节标题或者曼德布罗特集合的图片。我同样避免了混沌理论、哥德尔定理等内容：与它们在当前数学研究中的实际影响相比，这些内容在公众的想象中所占的比例已经过大，而且其他图书已经充分地阐释了这些内容。我所选择的内容都是很普通的，详细地去讨论，以说明怎样通过一种更深刻的方式来理解它们。换言之，我的目标在深不在广，在于向读者传达主流数学的魅力，让读者体会到它的不言而喻。

感谢克雷数学研究所和普林斯顿大学在我写作此书期间对我的支持和热情接待。感谢吉尔伯特阿代尔、丽贝卡高尔斯、埃米莉高尔斯、帕特里克高尔斯、乔书亚卡茨和埃德蒙托马斯阅读了本书的初稿。他们非常聪明，知识丰富，实在不能算作普通读者，不过还是能够让我放心，至少某些非数学专家是能够读懂我的作品的。基于他们对此书的评论，我作出了许多改进。我把这本书献给埃米莉，希望她能够借此了解一点点我整天都在做的是些什么事情。

　

第八章 常见问题



1. 数学家在30岁以后就不比当年了，这是真的吗？



这种传说影响颇为广泛，正由于人们误解了数学能力的本质，才使得它很有吸引力。人们总喜欢把数学家看作极具天资的人，并认为天资这种东西有些人生来就有，其他人则绝难获得。

其实，年龄与数学成果间的关系对不同人来说差别很大。的确有一部分数学家在20来岁的时候做出了他们最杰出的工作，但绝大多数人都认为，他们的知识水平和专业素质终其一生都在稳健地提高，在许多年里，这种专业水平的增长都能够弥补“原生”脑力的任何衰退（如果确实有“原生”脑力这回事的话）。确实数学家在年逾40岁之后就少有重要的突破性进展了，但这也很有可能是社会学方面的原因。到了40岁时，如果有人还有能力做出突破性的工作，那么他极有可能早已因之前的工作闻名遐迩，因而有可能也不像未成名的年轻数学家那样具有奋斗精神。不过还是有很多反例的，有很多数学家在退休之后热情不减，还继续在数学领域工作。

一般来讲，人们通常所想象的数学家的形象——可能很聪明，但有点古怪，穿着邋遢，毫无性欲，比较孤僻——的确不是一种讨喜的形象。有一部分数学家在一定程度上的确符合这种形象，但如果你认为不这样就做不好数学，这种想法可就太蠢了。实际上，如果所有其他条件都相同的话，可能你还要比这些怪数学家更胜一筹。一开始学习数学的所有学生中，最后成为专职研究人员的比例极小，更多的人在早期阶段便离开了数学，比如失去兴趣、没有申请到读博机会，或者得到了博士学位但没有获得教职。在我看来（实际上不仅只有我这么想），对最终通过了这层层考验的人来说，那些“怪人”所占的比例比占一开始学习数学的学生的比例要小。

对数学家这样的负面刻画可能杀伤力很大，吓走许多本来可能喜欢并且擅长这一领域的人，但是“天才”这个词则更加恶毒，杀伤力更大。这里有一个现成的对“天才”的大致定义：对于别人必须经过多年实践都未必能够掌握的事情，天才就是那些在少年时期就能够轻易做好这些事的人。天才的成就有着魔法般的特质，就好像他们的大脑并不只是比我们更有效率，而是运转方式完全不同。剑桥大学每年都会有一两个数学系本科生，他们经常在数分钟之内就能解决的问题，大多数人——包括应该能够教他们的人——往往需要花上几个小时以上。遇到这种人的时候，我们只能退避三舍、顶礼膜拜。

然而，这些超乎寻常的人并不总是最成功的数学研究者。如果你想要解决某个问题，而之前尝试过的数学家都以失败告终，那么你需要具备种种素质，在这其中天赋（如我所定义的那样）既不是必要的也不是充分的。我们可以通过一个极端一点的例子来说明这一点。安德鲁怀尔斯（在刚到40岁的时候）证明了费马大定理（即对任意正整数x,y,z及大于2的正整数n，xn+yn不可能等于zn），解决了世界上最著名的数学难题。毫无疑问他很聪明，但他并不是我所说的天才。

你可能会问，如果没有某种神秘的超常脑力，他还可能完成这一切吗？回答是，尽管他的成就非常卓著，但也没有卓越到无法解释的程度。我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇气、坚定和耐心，对他人完成的艰难工作的广泛了解，在正确时间专攻正确领域的运气，以及杰出的战略性眼光。

上面所说的最后一条素质，从根本上要比惊人的大脑运转速度更加重要。数学中绝大多数影响深远的贡献是由“乌龟”们而不是“兔子”们做出的。随着数学家的成长，他们都会逐渐学会这个行当里的各种把戏，部分来自于其他数学家的工作，部分来自于自己对这个问题长时间的思考。是否能将他们的专长用于解决极其困难的问题，则在很大程度上决定于细致的规划：选取一些可能会结出丰硕成果的问题，知道什么时候应该放弃一条思路（相当困难的判断），能够先勾勒出论证问题的大框架继而再时不时地向里面填充细节。这就需要对数学有相当成熟的把握，这绝不与天赋相矛盾，但也并不总是会伴随着天赋。



2. 为什么女性数学家很少见？



真想回避这个问题，因为回答这个问题很容易冒犯别人。但是，在全世界各地的数学系所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很小；这是一个值得注意的现象，也是数学生活中的一个重要事实，我被迫感到不得不说点什么，尽管我所要说的也无非是对此感到不解和遗憾。

值得强调的一点是，数学家中女性较少只不过是一种统计现象：确实有十分优秀的女性数学家，与男性同行一样，她们表现优秀的方式也多种多样，有时也包括拥有天赋。没有任何迹象表明，女性在数学中所能达到的成就会有上限。我们有时会读到，在特定的智力测试中——比如说视觉空间能力，男性表现得更优秀，有人认为这解释了他们主导着数学领域的原因。然而，这样的论据不足以令人信服，因为视觉空间能力能够通过练习来增强，而且尽管它有时对数学家有帮助，却并非不可或缺。

更可信的一种理由是社会方面的因素：当男孩子为数学能力感到骄傲时，可以想象某个女孩子可能会为自己擅长这项不那么女性化的事务而感到窘迫。而且，有数学天赋的女孩子所能够效仿的榜样很少，她们只能靠自我保持、自我强化。一项社会因素可能会在之后发挥更大的作用：比起其他学科来，前言



20世纪初，伟大的数学家大卫希尔伯特发现，有很多数学中的重要论点在结构上十分类似。他意识到，在适当的广义范畴下，这些论点事实上可以视为等同。与此类似的一系列发现为一个崭新的数学分支开启了大门。而这一新领域中的一个核心概念——希尔伯特空间——正是以希尔伯特的名字来命名的，这一概念使许许多多的现代数学研究变得清晰，范围之广包括了从数论直到量子力学各个分支，以至于如果你对希尔伯特空间的基本理论一无所知，你就根本不能算是一名受过良好教育的数学家。

那么，什么是希尔伯特空间呢？在典型的高校数学课程中，它被定义为“完备的内积空间”。修读这样一门课程的学生，理应从先修课程中了解到，所谓“内积空间”是指配备了内积的向量空间，而所谓“完备”是指空间中任意柯西列都收敛。当然，要想理解这样的定义，学生还必须知道“向量空间”、“内积”、“柯西列”和“收敛”的定义。就拿其中一个举例来说（这还并不是最长的一个）：序列x1，x2，x3，…若满足对于任意正数ε，总存在整数N，使得对于任意大于N的整数p和q，xp与xq间的距离不大于ε，则称这个序列为柯西列。

简言之，如果你希望了解希尔伯特空间是什么，你就必须首先学习并且消化一系列由低到高、等级分明的较低级概念。毫无疑问这需要耗费时间和精力。对于许多最重要的数学思想来说都是这样。有鉴于此，要写一本书提供对数学的简单易懂的介绍，其所能达到的目标就极为有限，更何况这本书还需要写得很短。

我没有选择用更聪明的办法绕着这个难题走，而是集中关注数学交流中另一重完全不同的障碍。这重障碍并非技术性的，而更多属于哲学性质的。它区分开了两种人：一种人乐于接受诸如无穷大、负一的平方根、第二十六维和弯曲空间这样的概念，另一类人则觉得这些概念荒诞不经。其实无须沉浸在技术细节中，依然有可能坦然接受这些思想，我将努力表明如何做到这一点。

如果说这本书要向你传达什么信息的话，那就是——我们应当学习抽象地思考，因为通过抽象地思考，许多哲学上的困难就能轻易地消除。在第二章里，我将详细说明什么是抽象的方法。第一章中则考虑我们更熟悉、与日常更相关的抽象：从现实世界的问题中提取核心特征，从而将其转化为数学问题的过程。第三章中我将讨论什么叫作“严格的证明”。这前三章是关于一般性的数学的。

之后我将讨论一些更加具体的课题。最后一章与其说是关于数学的，不如说是关于数学家的，因此会跟前几章有些不同。我建议你在读过第二章后再阅读后续章节。除此以外，这本书已经尽量做到不受先后顺序影响——在任何章节中，我并没有假定读者已经理解并记住了先前的内容。

读这本书并不需要太多的预备知识，英国GCSE课程或同等水平即可。不过我假定读者具有一些兴趣，而不是需要靠我去大力宣扬。因此，我在书中没有用到趣闻轶事、漫画、惊叹号、搞笑的章节标题或者曼德布罗特集合的图片。我同样避免了混沌理论、哥德尔定理等内容：与它们在当前数学研究中的实际影响相比，这些内容在公众的想象中所占的比例已经过大，而且其他图书已经充分地阐释了这些内容。我所选择的内容都是很普通的，详细地去讨论，以说明怎样通过一种更深刻的方式来理解它们。换言之，我的目标在深不在广，在于向读者传达主流数学的魅力，让读者体会到它的不言而喻。

感谢克雷数学研究所和普林斯顿大学在我写作此书期间对我的支持和热情接待。感谢吉尔伯特阿代尔、丽贝卡高尔斯、埃米莉高尔斯、帕特里克高尔斯、乔书亚卡茨和埃德蒙托马斯阅读了本书的初稿。他们非常聪明，知识丰富，实在不能算作普通读者，不过还是能够让我放心，至少某些非数学专家是能够读懂我的作品的。基于他们对此书的评论，我作出了许多改进。我把这本书献给埃米莉，希望她能够借此了解一点点我整天都在做的是些什么事情。

　

第八章 常见问题



1. 数学家在30岁以后就不比当年了，这是真的吗？



这种传说影响颇为广泛，正由于人们误解了数学能力的本质，才使得它很有吸引力。人们总喜欢把数学家看作极具天资的人，并认为天资这种东西有些人生来就有，其他人则绝难获得。

其实，年龄与数学成果间的关系对不同人来说差别很大。的确有一部分数学家在20来岁的时候做出了他们最杰出的工作，但绝大多数人都认为，他们的知识水平和专业素质终其一生都在稳健地提高，在许多年里，这种专业水平的增长都能够弥补“原生”脑力的任何衰退（如果确实有“原生”脑力这回事的话）。确实数学家在年逾40岁之后就少有重要的突破性进展了，但这也很有可能是社会学方面的原因。到了40岁时，如果有人还有能力做出突破性的工作，那么他极有可能早已因之前的工作闻名遐迩，因而有可能也不像未成名的年轻数学家那样具有奋斗精神。不过还是有很多反例的，有很多数学家在退休之后热情不减，还继续在数学领域工作。

一般来讲，人们通常所想象的数学家的形象——可能很聪明，但有点古怪，穿着邋遢，毫无性欲，比较孤僻——的确不是一种讨喜的形象。有一部分数学家在一定程度上的确符合这种形象，但如果你认为不这样就做不好数学，这种想法可就太蠢了。实际上，如果所有其他条件都相同的话，可能你还要比这些怪数学家更胜一筹。一开始学习数学的所有学生中，最后成为专职研究人员的比例极小，更多的人在早期阶段便离开了数学，比如失去兴趣、没有申请到读博机会，或者得到了博士学位但没有获得教职。在我看来（实际上不仅只有我这么想），对最终通过了这层层考验的人来说，那些“怪人”所占的比例比占一开始学习数学的学生的比例要小。

对数学家这样的负面刻画可能杀伤力很大，吓走许多本来可能喜欢并且擅长这一领域的人，但是“天才”这个词则更加恶毒，杀伤力更大。这里有一个现成的对“天才”的大致定义：对于别人必须经过多年实践都未必能够掌握的事情，天才就是那些在少年时期就能够轻易做好这些事的人。天才的成就有着魔法般的特质，就好像他们的大脑并不只是比我们更有效率，而是运转方式完全不同。剑桥大学每年都会有一两个数学系本科生，他们经常在数分钟之内就能解决的问题，大多数人——包括应该能够教他们的人——往往需要花上几个小时以上。遇到这种人的时候，我们只能退避三舍、顶礼膜拜。

然而，这些超乎寻常的人并不总是最成功的数学研究者。如果你想要解决某个问题，而之前尝试过的数学家都以失败告终，那么你需要具备种种素质，在这其中天赋（如我所定义的那样）既不是必要的也不是充分的。我们可以通过一个极端一点的例子来说明这一点。安德鲁怀尔斯（在刚到40岁的时候）证明了费马大定理（即对任意正整数x,y,z及大于2的正整数n，xn+yn不可能等于zn），解决了世界上最著名的数学难题。毫无疑问他很聪明，但他并不是我所说的天才。

你可能会问，如果没有某种神秘的超常脑力，他还可能完成这一切吗？回答是，尽管他的成就非常卓著，但也没有卓越到无法解释的程度。我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇气、坚定和耐心，对他人完成的艰难工作的广泛了解，在正确时间专攻正确领域的运气，以及杰出的战略性眼光。

上面所说的最后一条素质，从根本上要比惊人的大脑运转速度更加重要。数学中绝大多数影响深远的贡献是由“乌龟”们而不是“兔子”们做出的。随着数学家的成长，他们都会逐渐学会这个行当里的各种把戏，部分来自于其他数学家的工作，部分来自于自己对这个问题长时间的思考。是否能将他们的专长用于解决极其困难的问题，则在很大程度上决定于细致的规划：选取一些可能会结出丰硕成果的问题，知道什么时候应该放弃一条思路（相当困难的判断），能够先勾勒出论证问题的大框架继而再时不时地向里面填充细节。这就需要对数学有相当成熟的把握，这绝不与天赋相矛盾，但也并不总是会伴随着天赋。



2. 为什么女性数学家很少见？



真想回避这个问题，因为回答这个问题很容易冒犯别人。但是，在全世界各地的数学系所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很小；这是一个值得注意的现象，也是数学生活中的一个重要事实，我被迫感到不得不说点什么，尽管我所要说的也无非是对此感到不解和遗憾。

值得强调的一点是，数学家中女性较少只不过是一种统计现象：确实有十分优秀的女性数学家，与男性同行一样，她们表现优秀的方式也多种多样，有时也包括拥有天赋。没有任何迹象表明，女性在数学中所能达到的成就会有上限。我们有时会读到，在特定的智力测试中——比如说视觉空间能力，男性表现得更优秀，有人认为这解释了他们主导着数学领域的原因。然而，这样的论据不足以令人信服，因为视觉空间能力能够通过练习来增强，而且尽管它有时对数学家有帮助，却并非不可或缺。

更可信的一种理由是社会方面的因素：当男孩子为数学能力感到骄傲时，可以想象某个女孩子可能会为自己擅长这项不那么女性化的事务而感到窘迫。而且，有数学天赋的女孩子所能够效仿的榜样很少，她们只能靠自我保持、自我强化。一项社会因素可能会在之后发挥更大的作用：比起其他学科来，数学需要一个人更加专注，这虽然不是不可能，但也很难与女性的母亲身份相结合。小说家坎迪亚麦克威廉曾经说，她的每个孩子都使她少写了两本书，不过在几年未动笔之后，她至少还能够重新写小说。但如果你几年没有做数学，你就失去了数学的习惯，很难再重拾了。

有人认为，女性数学家发展起自己事业的时间往往晚于男性同行，而数学家的职业结构倾向于回报早期成就，这就使得女性处于一种不利的地位。最杰出的一些女性数学家的人生故事支持了这种说法。不过她们发展自己职业生涯较晚的原因，基本上都是上面所说的社会原因，而且也有许多这方面的例外。

不过，这些解释看起来都不够充分。我在此不再深入探讨了。我还能做的就是告诉大家，关于这方面已经出了几本书（参见“延伸阅读”）。最后再加上一点评论：这样的情况是在不断进步的。数学家中女性所占的比例近年来在稳步提高，而且随着社会大环境的不断改变，这样的现象一定还会持续下去。



3. 数学与音乐息息相通吗？



尽管有很多数学家完全不了解音乐，也很少有音乐家对数学感兴趣，但一直有一种民间观念认为这两个领域是相关联的。其结果就是，当我们听说某位数学家钢琴弹得很好，或者爱好作曲，或者喜欢听巴赫，没有人会对此感到惊奇。

有很多奇闻轶事在讲，各种艺术形式中，数学家为音乐所吸引的最多。也有一些研究声称已经表明，受过音乐教育的儿童在科学领域中表现得更优秀。我们不难猜出为什么会这样。尽管在所有艺术形式中抽象都很重要，但音乐在其中最具有代表性，可以说是最明显的抽象艺术：听音乐所获得的愉悦感，大部分来自于对不具有内在含义的纯粹形式的直接——即使不是完全自觉的——欣赏。

不幸的是，这些传说中的证据很少得到严格的科学支持。关于这种说法，就连应该提出哪些疑问都不好说。如果我们收集到统计数据显著地说明，在相近的社会背景及教育背景下，数学家与其他人相比，弹钢琴的百分比更高，那我们能够从中了解到什么呢？我自己猜测，的确会得到这样的数据。但如果提出一种可经实验验证的理论来说明这其中的关联，会有趣得多。就统计证据而言，如果能够更加详尽明确，也会更有价值。数学和音乐都是内容很广泛的领域，某些人很有可能只对领域中的某一部分有热情，而对其他部分毫无兴趣。数学和音乐趣味之间是否会有微妙的联系？如果有，那将会比这两个领域间整体的粗略相关性更具信息含量。



4. 为什么有那么多人旗帜鲜明地厌恶数学？



我们不常听到别人说他们从来不喜欢生物学，或者英国文学。毫无疑问，并不是所有人都会对这些学科感到兴奋，但是，那些没有热情的人往往完全理解那些有热情的人。相反，数学，以及其他内容高度数学化的学科，诸如物理，似乎不仅仅使人提不起兴趣，而且能激起反感。究竟是什么原因使他们一旦能够抛弃数学时就立刻抛弃，并且一生都对数学心有余悸？

很可能并不是因为数学很无聊，而是数学课的经历很乏味。这一点更容易理解。因为数学总是持续在自身的基础上构建，所以学习时的步步跟进就显得很重要。比方说，如果你不太擅长两位数的乘法，那你很可能就不会对分配律（第二章中讨论过）有良好的直觉。没有这种直觉，你可能就会在计算打开括号（x+2）（x+3）时感到不适应，于是你接下来就不能很好地理解二次方程，因而也无法理解为什么黄金分割比是（1+√5）/2。

类似这样的环环相扣还有很多，但是，学习数学时的步步跟进不仅仅是保持技术熟练度而已。数学中常常会引入重要的新思想，新思想会比旧思想更加复杂，每一个新思想的引入都有可能把我们甩在后面。一个很明显的例子就是用字母表示数，很多人对此糊里糊涂，但对某个层次以上的数学来讲这是基础性的。还有其他类似的例子，比如负数、三角函数、指数、对数以及初步的微积分。没有作好准备来进行必要的概念飞跃的人，一旦遇到这些新思想时，就会对其后建立在新思想基础上的一切数学感到并不牢靠。久而久之，他们就会习惯于对数学老师所说的东西仅仅一知半解，日后再错过几次飞跃，恐怕连一知半解也做不到了。同时他们又看到班上其他同学能够轻而易举地跟上课程。因此就不难理解，为什么对许多人来讲数学课成为了一种煎熬。

情况一定是这样的吗？有没有人天生注定就会在学校里厌恶数学，还是说，有可能找出一种不同的数学教学方法，使得排斥数学的人能够大大减少？我相信，小孩子如果在早期接受到热情的好老师一对一教学，长大之后就会喜欢上数学。当然，这并不能直接成为一种可行的教育政策，不过至少告诉我们，数学的教育方法可能有改进空间。

从我在本书中所强调的思想出发，我可以给出一条建议。在上面，我间接地将技术的熟练度与对较难概念的理解作了一番比较，但实际情况似乎是，凡是擅长其中一个方面的必然两个方面都擅长。况且，如果说理解数学对象，大体上就是要学习数学对象所遵从的规则，而非把握其本质，那么我们完全可以预期：技术的熟练度与数学理解力之间并不像我们想象得那样泾渭分明。这又会对课堂实践产生什么影响呢？我并不赞成革命性的改进——数学教育已经深受其累，我所赞同的是小幅度的改变，有所侧重的小幅变化将会是有益的。